Semana #9 - Modelo de tarjeta de crédito

Esta semana presento un video explicativo sobre un modelo de tarjeta de crédito en VENSIM:

Semana #8 - Introducción al análisis de sensibilidad

La entrada de esta semana se basará en el documento "An Introduction to Sensitivity Analysis" producido en MIT bajo supervision de Dr. Jay Forrester y escrito por Lucia Breierova y Mark Choudhari en 1996.

El objetivo de esta semana es conocer que es un análisis de sensibilidad y para que sirve, después de examinar la inconsistencia dimensional de la semana #7 es de gran importancia hacer análisis de sensibilidad de nuestros modelos y aumentar la consistencia y precisión de estos.

¿Que es un análisis de sensibilidad? ¿Para que sirve?

El análisis de sensibilidad se utiliza para determinar cómo de "sensible" es un modelo a los cambios en el valor de los parámetros del modelo y a los cambios en la estructura este. En este trabajo, nos centramos en la sensibilidad de parámetros, que se realiza generalmente como una serie de pruebas en las que el modelador establece diferentes valores de los parámetros para ver cómo un cambio en el parámetro provoca un cambio en el comportamiento dinámico de las poblaciones.Al mostrar cómo el comportamiento del modelo responde a los cambios en los valores de parámetros, el análisis de sensibilidad es una herramienta útil en la construcción de modelos, así como en la evaluación del mismo. 

El análisis de sensibilidad ayuda a construir la confianza en el modelo mediante el estudio de las incertidumbres que se asocian a menudo con los parámetros de los modelos. Muchos de los parámetros en los modelos de dinámica de sistemas representan cantidades que son muy difíciles o incluso imposibles de medir con mucha precisión en el mundo real. Además, algunos valores de los parámetros cambian en el mundo real.

Las pruebas de sensibilidad ayudan al modelador para entender la dinámica de un sistema. Experimentar con una amplia gama de valores puede ofrecer conocimientos sobre el comportamiento de un sistema en 

situaciones extremas.

Ejercicio de aplicación: ¿El infierno es exotérmico o endotérmico?

He preparado un ejemplo muy interesante basado en una historia difundida en Internet. Veamos el infierno desde un punto de vista físico:

Se puede decir que el infierno es un lugar al que van

almas condenadas, es decir, es un contenedor. Si asumimos que las almas están en estado gaseoso se

puede hacer un análisis de la situación del mismo usando herramientas como la Ley de Boyle-Mariotte (un gas se enfría cuando se expande y se calienta cuando se comprime) y la Ley de los gases ideales.

En primer lugar, necesitamos saber en qué medida la masa del Infierno varía con el tiempo.Para ello hemos de saber a qué ritmo entran las almas en el Infierno y a qué ritmo salen. Tengo sin embargo entendido que, una vez dentro del Infierno, las almas ya no salen de él, por lo tanto, no se producen salidas.

En lo referente a cuántas almas entran, veamos lo que dicen las diferentes religiones. La mayoría de ellas declaran que si no perteneces a ellas, irás al Infierno. Dado que hay más de una religión que así se expresa y dado que la gente no pertenece a más de una, podemos concluir que todas las almas van al Infierno. Con las tasas de nacimientos y muertes existentes, podemos deducir que el número de almas en el Infierno crece de forma exponencial. 

Veamos ahora cómo varía el volumen del Infierno. Según la Ley de Boyle, para que la temperatura y la presión del Infierno se mantengan estables, el volumen debe expandirse en proporción a la entrada de almas

Hay dos posibilidades:

1. Si el Infierno se expande a una velocidad menor que la de entrada de almas, la temperatura y la presión en el Infierno se incrementarán hasta que éste se desintegre.
2. Si el Infierno se expande a una velocidad mayor que la de la entrada de almas, la temperatura y la presión disminuirán hasta que el Infierno se congele.

Teniendo en cuenta lo anterior planteo el siguiente modelo:

Como puede observarse en el modelo escogí como la variable de nivel el volumen disponible en el infierno el cual se determina la por la expansión que se produce y la entrada de almas a ese espacio. A su vez la expansión depende de la presión, el flujo de almas y el volumen actual. El flujo de almas depende únicamente de la tasa de mortalidad.

Por otro lado, la presión es una de las variables importantes del modelo (de hecho este modelo puede ser representado con dos niveles) y depende de la temperatura, el volumen, los moles del gas y la constante universal , mediante la ecuación de gases ideales P = NRT/V.  Para conocer el valor de la temperatura solo basta despejar la "T" de la ecuación. Sin embargo para calcular la velocidad de expansión que al final será la expansión del infierno, se usa la ecuación de Boyle V1=(P2*V2)/P1 y V2=(P1*V1)/P2.

Juguemos un poco con los parámetros del modelo: Si aumentamos la velocidad de expansión de tal manera que sea superior a la tasa de mortalidad->flujo de almas entonces sucederá lo expuesto en la segunda posibilidad: el infierno se congelará. Afectará al volumen disponible de tal forma que la presión y la temperatura se decrecerán:

En el caso contrario, es decir si la velocidad de expansión es menor al flujo de almas, entonces la presión y la temperatura aumentaran hasta explotar (imagine inflar un globo hasta explotar).

En cualquiera de los dos casos el modelo se mantiene, ahora veamos que pasa si modificamos otras variables como el numero de moles del gas. No sabemos la composición de un alma humana por lo tanto no podemos determinar con exactitud las moles de este, sin embargo este es un valor fijo y lo único que cambiaría seria que aumentaría y disminuiría la presión y la temperatura según el caso. Si el valor es elevado, se necesitarán menos almas para llegar a la desintegración en caso de que la expansión sea menor a la entrada de almas, y si el valor es mínimo se necesitarán mas almas para que ocurra esto y lo mismo aplica en el caso de la congelación.

Podemos concluir que el modelo es sensible a los cambios y  se mantiene, sin embargo podemos hacer un modelo mas complejo si tomamos en cuenta otros factores como el clima dentro del infierno o las guerras en la tierra y nos tocaría hacer un nuevo análisis de sensibilidad.

Referencias:

• Análisis de sensibilidad - http://ocw.mit.edu/courses/sloan-school-of-management/15-988-system-dynamics-self-study-fall-1998-spring-1999/readings/sensitivityanalysis.pdf
• Is Hell exothermic or endothermic?.Support your answer with a proof. - http://www.pinetree.net/humor/thermodynamics.html

Semana #7 - Errores y malentendidos: Examinando Inconsistencia Dimensional

Esta semana se mencionarán los tipos de errores mas comunes al momento de modelar sistemas, el texto guía será un recurso del proyecto en dinámica de sistemas del MIT hecho por Michael Shayne Gary y supervisado el Dr. Jay Forrester.

Para entender mejor este tema vamos a ilustrarnos con un ejemplo sencillo y completo a la vez ¿como así?, es un ejemplo de física muy simple pero al momento de analizarlo se pueden incurrir a errores y malentendidos y es el objetivo de esta entrada identificarlos para no cometerlos en futuros modelados en dinámica de sistemas. Veamos:

Consideremos un sistema físico familiar, el horno con termostato en una casa. La mecánica de este sistema son simples, el horno se enciende o apaga en función de la temperatura dentro de la casa. Supongamos que el termostato se fija en 75 ° F. El horno permanece apagado, siempre y cuando la temperatura en la casa se mantiene por encima de 75 ° C. Cuando el calor se escapa de la casa a través de ventanas, paredes y puertas, la temperatura en la casa cae por debajo de 75 ° F, y el horno se enciende. Después de un tiempo, la temperatura alcanza los 75 ° C de nuevo, a continuación, el horno se apaga hasta que se reactiva por otro descenso de la temperatura. En resumen, la diferencia entre la temperatura dentro de la casa y el ajuste de la temperatura en el termostato representa una brecha de temperatura que controla si el horno está encendido o apagado.

Modelo inicial

Si observamos el modelo aparentemente se ve bien, pero debemos cuestionarnos acerca de las variables que interactúan ahí:

Primero, si se observa la variable de nivel (variable de caja) "Temperatura de la casa" y en ella se evidencia un error debido a que las unidades para los valores de la variable no son compatibles con las del flujo de entrada y salida. Recuerde que las variables de nivel son algo que se acumulan en el tiempo, por lo tanto usar una unidad de temperatura como grados celsius o fahrenheit es inválido. ¿por qué? la temperatura no es acumulativa, confirmemos esto con una situación de ejemplo:

Si tomas 50 cc de agua y la pones a calentar en una olla, tardará un tiempo X en llegar a su estado de ebullición a los 100° C. Ahora, si colocas 200 cc de agua en una olla y haces el mismo procedimiento no tardará el mismo tiempo X que en el primer caso, si no que tardará mas tiempo (X+a) en llegar a los 100° C y hervir a causa de la diferencia de volumen del fluido ya que en el segundo caso necesita mas calor para llegar a 100° C. Nosotros no agregamos temperatura al agua de la olla, si no que agregamos calor y por esta razon definitivamente no podemos usar la temperatura como una variable en nuestro modelo

Ademas de esto, fíjese que los flujos de entrada y salidas son producción y perdida de calor, cuyas unidades estarán dadas por calor/tiempo, entonces las unidades usadas para estos flujos son BTU por minuto o calorías por minuto. En este sentido, si los flujos de entrada/salida están en dichas unidades, la variable de nivel que afectan debe estar regida también por este tipo de unidad.

Segundo, en la descripción del problema nos damos cuenta que la diferencia de temperatura entre la actual y la deseada recibe parámetros en distintas unidades de temperatura, en grados celsius y fahrenheit, lo cual demuestra una clara inconsistencia de los valores si se quiere calcular una diferencia, es como tener 5 dolares y 5 pesos colombianos y decir que se tiene en total 10 dolares o 10 pesos colombianos, simplemente no son compatibles. Se debe usar un factor de conversión para pasar algunas de las dos unidades y trabajar con una sola.

Todos estos aspectos se aplican sobre todo al momento de hacer las ecuaciones de nuestro modelo.

Modelo Corregido

Usando la información descrita anteriormente se ha adecuado el modelo del termostato correctamente, al final los cambios fueron los siguientes:

1. Se cambio la variable de nivel, en lugar de temperatura de la casa, calculamos el calor en la casa.
2. Se creo una variable para la temperatura de la casa que será necesaria para calcular la diferencia de temperatura entre la actual y la deseada.
3. Se creo una variable que ayuda a calcular el factor de conversión de celsius a fahrenheit [°F] = [°C] × ⁹⁄₅ + 32 y asi garantizar que las unidades de la temperatura de la casa sean las misas que la de temperatura deseada. 

CONCLUSIONES

• Todas las ecuaciones deben definirse en unidades que mantienen la consistencia dimensional. No deje que un modelo mental confuso guié a la definición de las relaciones que son dimensionalmente imposible.
• Las acciones deben corresponder a las cantidades que pueden acumularse en el mundo real. En la elección de las acciones para su modelo, piense en las cantidades que se acumulan y / o se extraen en el sistema.

De alguna manera estos errores son comunes pero muchas veces fácilmente identificables, en mi experiencia en la universidad la primera clase de física el docente explica las unidades a utilizar y propone ejercicios de conversión de unidades, ahora ya sabemos el porque.