Dinámica de sistemas 2013: Semana #6 - Estructuras genéricas en sistemas oscilantes

En esta ocasión veremos como dos modelos aparentemente diferentes pueden tener una misma estructura básica, para esto he seguido el documento "GENERIC STRUCTURES IN OSCILLATING SYSTEMS I" de Celeste V. Chung producido por MIT Dinámica de Sistemas en el Proyecto de Educación supervisado por el Dr. Jay W. Forrester.

Entendiendo el problema

Para esta aplicación se tendrán en cuenta dos sistemas, el primero es un problema de física mecánica relacionado con osciladores (péndulo) y el segundo un problema de inestabilidad laboral; es normal si usted cree que no tienen nada en común, pero con pensamiento de sistemas podemos hacer ciertas consideraciones e incluso encontrar una relación entre estos. A continuación se explicará y simulará el modelo para cada uno de ellos y al final de esta entrada averiguaremos si existe alguna similitud entre estos.

Modelo del péndulo

El problema consiste en una masa unida a una varilla rígida pivotante en el techo como se muestra en la Figura 1. En un mundo sin fuerzas externas, tales como la fricción, la fuerza de la gravedad y la tensión son las únicas fuerzas que actúan sobre la masa. Si este sistema de péndulo está inicialmente en equilibrio y no hay más fuerzas se ejercen sobre ella, la masa se mantendrá en su posición de equilibrio siempre.

Figura 1

Si la masa se tira de la derecha o hacia la izquierda, la gravedad proporciona una fuerza de restauración para conducir la masa hacia su posición de equilibrio. La fuerza de tensión y la gravedad, que se muestra en la Figura 2, actúan sobre la masa para producir el movimiento. Para este ejercicio, vamos a suponer que la oscilación del péndulo es pequeño, alrededor de 10 a 20 cm de un péndulo de 1 metro. Para este tipo de pequeñas oscilaciones, podemos asumir el movimiento de la masa a ser esencialmente horizontal. Nos referiremos a la posición horizontal de la masa con la variable X.

Suponiendo que la posición de equilibrio se define como X = 0, la Figura 2 (a) muestra la masa en una posición positiva. La gravedad, la fuerza de recuperación, impulsa la masa hacia su posición de equilibrio. Los medios de rebasamiento a la posición negativa se muestra en la Figura 2 (b). Aquí, la posición es negativo, y la gravedad de nuevo intenta conducir la masa de nuevo a la posición de equilibrio. La masa alcanza el equilibrio y rebasa a la posición positiva. Sin ninguna fuerza externa, como la fricción, este ir y venir o movimiento oscilatorio continuarían para siempre (infinito a lo largo del tiempo).

Para una explicación más detallada, puede ingresar al siguiente link y descargar un fragmento (apéndice 1) en ingles del documento original publicado en el MIT.

Figura 2

Posiciones positivas y negativas representan el desplazamiento de la masa de izquierda o derecha línea de equilibrio vertical, respectivamente. El cambio de posición es igual a la velocidad.

Si llevamos el modelo a un diagrama de forrester (hecho en Stella) tenemos que:

La brecha ("gap" en la figura) es la diferencia entre la posición deseada y la posición actual. La brecha, junto con la influencia de la gravedad y la duración de la varilla del péndulo, determina el cambio de velocidad. El efecto de la gravedad y la longitud de la varilla se puede expresar como: Cambio de la velocidad = (gravedad*brecha) / longitud de la varilla

El cambio en la velocidad es la aceleración medida en metros por segundo cuadrado. El comportamiento oscilatorio sostenido es impulsado por el cambio en la dependencia de la posición de la velocidad y el cambio de la dependencia de la velocidad en la posición.

Quizá para alguien que no esté familiarizado con la física suene muy complejo, pero si analiza la gráfica del péndulo que se mostraba al inicio, junto al diagrama de flujo de nivel se puede entender de manera mas sencilla, incluso para alguien que no conozca mucho de física mecánica.

Modelo de inestabilidad laboral

La siguiente imagen muestra la misma estructura de dos niveles subyacente como el modelo del péndulo. los nombres de los parámetros se han cambiado péndulo al modelo Inestabilidad del empleo.

Vayamos al grano, ¿Cuál es la fuerza impulsora detrás de problema de inestabilidad laboral? si vemos primero en el inventario, está regulado por la producción menos las ventas. Las ventas son constantes en 20.000 productos al año. La productividad de cada empleado es 100 productos al año, es decir la cantidad que cada persona puede hacer por años. Así, la producción es igual a productividad * Empleo, el número de empleados. Producción menos de venta, que es el cambio en el inventario anual es:

Producción menos ventas = Producción - ventas
Producción menos ventas = (productividad * empleo) - 20.000

Entonces, ¿En que se parece un problema de física a un problema de administración?

Si se analiza con atención los dos problemas presentan una estructura similar, estos modelos de dos niveles a pesar de estar en diferente ámbitos y no compartir las mismas ecuaciones, desde el punto de vista del pensamiento de sistemas (la dinámica de sistemas) se evidencia un comportamiento parecido si se piensa en "círculos" (realimentación). Para aclarar esto, la siguiente figura muestra la estructura basica de los modelos aquí presentados:

En este sentido, la diferencia entre los ejemplos, son los factores que afectan al flujo relacionado con su respectiva variable de nivel como se ve en el diagrama anterior;. Mientras que en el ejemplo del péndulo el cambio de la posición era afectado directamente por la velocidad, en el ejemplo de la inestabilidad laboral la productividad menos ventas era afectado por las ventas y la productividad, sin embargo poseen la misma estructura.

Implementación en vensim y resultados

Modelo del péndulo